x+y+z=0,x^2+y^2+z^2=6,则x的最大值

因为y^2+z^2>=2yz
所以(y^2+z^2)+(y^2+z^2)>=y^2+z^2+2yz
2(y^2+z^2)>=(y+z)^2

y+z=-x
两边平方
(y+z)^2=x^2

x^2+y^2+z^2=6
所以y^2+z^2=6-x^2

分别代入2(y^2+z^2)>=(y+z)^2
2(6-x^2)>=x^2
3x^2<=12
x^2<=4
-2<=x<=2
所以x最大值=2

x+y+z=0得z=-x-y
代入x^2+y^2+z^2=6中，得
x^2+y^2+(-x-y)^2=6
x^2+y^2+x^2+y^2+2xy=6
2x^2+2y^2+2xy=6
y^2+xy+x^2=3
y^2+xy+(x/2)^2+x^2-(x/2)^2=3
(y+x/2)^2=3-(3/4)x^2≥0
x^2≤4
-2≤x≤2
所以x的最大值为2

因为有初始条件，所以用拉格朗日乘数法求解。
设F(x)=x^2+y^2+z^2-6+h(x+y+z) 其中h是参数
分别多x、y、z求1阶偏导数，并令这些偏导数等于0，建立4个方程即可就出。

x=根号6
y=z=0